题目：计算下面积分
\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\arctan ^2x\ dx
分析：首先，x=1是瑕点，但是由于\lim_{x\to 0}\frac{\arctan ^2x}{x^2}=1，故不是瑕积分。之后，经过变量替换，转化为经典的积分。
解：令y=\arctan x，则x=\tan y，dx=\sec^2y dy，于是有：
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\arctan ^2x\ dx
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\frac{1}{\tan y^2}\right)y^2\ \sec^2y \ dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{y^2}{\sin^2 y}+\frac{y^2}{\cos^2 y}\right)\ dy\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{4y^2}{\sin^2 2y}\ dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^2\ dt\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2d(-\cot x)\\
&=-\frac{1}{2}x^2\cot x\left.\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot x\ dx\\
&=0+\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^2\cot x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\ d(\ln|\sin x|)\\
&=x\ln(\sin x)\left.\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\ dx\\
&=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\ dx
\end{align*}
对于积分\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\ dx的结果，参见：
因此我们得到
\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\arctan ^2x\ dx=\boxed{\frac{\pi}{2}\ln 2}