题目：求
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx
分析：我们可以考虑区间再现进行计算。
解：
令y=\frac{\pi}{2}-x，dx=-dy，则
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-y\right)\right))dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)dx
于是
\begin{align*}
I&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x\cos x)dx\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin 2x)dx-\frac{\pi}{4}\ln 2\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\sin 2x)dx-\frac{\pi}{4}\ln 2\\
&\overset{y=2x}{=}\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin y)dy-\frac{\pi}{4}\ln 2\\
&=\frac{1}{2}I-\frac{\pi}{4}\ln 2\\
\end{align*}
于是
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx=\boxed{-\frac{\pi}{2}\ln 2}
当然，这道题也有其它解法，比如diGamma函数，傅里叶级数等等，读者可自行尝试。