求：
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}
分析：可以考虑泰勒展开，定积分定义或含参积分。
首先，注意到
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
法一（泰勒）：
注意到\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\ (|x|<1)，故代入x=1得S=\boxed{\ln 2}。
法二（调和级数）：
\begin{align*}
S&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}
=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{2n}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)\right]\\
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}
=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}\\
&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx=\boxed{\ln 2}
\end{align*}
法三（含参积分）：
考虑函数：
S(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n}
则S=S(1)。
且由于S(x)收敛域为(-1,1]，则在[0,1]上一致收敛。
又-\sum_{n=1}^{\infty}{(-x)^n}在[0,1)上一致收敛(在x=1不收敛，所以最后只能取极限)。
则
S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-x)^n}=\frac{1}{1+x}\ (0\leq x<1)
S(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}dt=\ln(1+x)\ (0\leq x<1)
那么：
S(1)=\lim_{x\to 1^{-}}\ln(1+x)=\boxed{\ln 2}
综上，我们得到：
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=\boxed{\ln 2}