莱布尼兹级数是一个经典的，关于π的级数，其结果为：
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}
证明：
法一（泰勒）：
事实上，这是\arctan x泰勒展开式在x=1的取值。
解：
\arctan x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}\ (-1<x\leq 1)
于是
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\boxed{\frac{\pi}{4}}
法二（含参积分）：
考虑
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}
则f(x)在[0,1]一致收敛，且级数\sum_{n=1}^{\infty}(-x^2)^{n-1}在[0,1)一致收敛，因此
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}}x^{2n-2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-x^2)^{n-1}=\frac{1}{1+x^2}\ (0\leq x<1)
于是
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt=\arctan x\ (0\leq x<1)
因此
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=f(1)=\lim_{x\to 1^{-1}}\arctan x=\boxed{\frac{\pi}{4}}
综上，我们证明了：
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\boxed{\frac{\pi}{4}}