问题：计算下面积分
I=\int_{0}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx
分析：一般被积区间为0~∞时，我们拆分为0~1和1~∞，之后统一区间。
解：
\int_{0}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx=\int_{0}^{1}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx+\int_{1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx=I_1+I_2
做变量替换t=1/x那么有：
I_2=\int_{1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{\arctan t}{t}\right)^2dt
而
\int_{0}^{1}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan {x}\right)^2dx
故：
I=\int_0^1\left(\frac{\pi^2}{4}-\pi\arctan(x)+\arctan^2(x)+\frac{\arctan^2(x)}{x^2}\right)dx\\
=\frac{\pi^2}{4}-\pi\int_0^1\arctan(x)dx+\int_0^1\left(\arctan^2(x)+\frac{\arctan^2(x)}{x^2}\right)dx
参考
以及
我们得到
\int_{0}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{x}\right)^2dx=\frac{\pi^2}{4}-\pi\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2\right)+\frac{\pi}{2}\ln 2=\boxed{\pi\ln 2}